Y箱

辺の長さと面積が整数になる、「ほぼ正三角形」を見つける問題です。

始めに総当たりで解くやつを作ったら、10時間かかりました。さすがにこれはだめなので、恒例の逆から考えるパターンです。



問題の三角形で、等しい辺の長さをa、残りの辺の長さを2b、高さをhとすると、a,b,hがピタゴラス数になるので、それぞれの辺は、

・パターンA
    


もしくは、

・パターンB
    

と表わすことができます。問題の条件から、  です。 パターンAの場合、



となります。これって、前にやったペルの方程式の形です。この形になったら、最小の1つがわかれば残りは計算でもとめられます。
さて、パターンBの方はどうかというと、



こんな風に、同じ形に持っていくことができます。
後は、 形のペルの方程式の最小解がわかればいいのですが、問題に、a=5、b=3という値が出ているので、これから求めると、(2,1)であることがわかります。

周の長さをx,yで表わすと、パターンAの場合は  、パターンBの場合は、 となります。

これで解いたのが2つめです。
なんと、1msec以下の時間で解けます。

すごい。